Contoh Soal dan Jawaban Trigonometri

1. Tentukan luas segitiga:

Luas segitiga = ½ 3.5. sin 30^o = ½.3.5.½ = 15/4 = 3,75 cm

2. Titik P dan Q dinyatakan dengan kordinat polar. Tentukan jarak antar titik Pdan Q.

Jawaban:

Dari gambar di atas terlihat bentuk segitiga dan jarak antar titik P dan Q bisa dicari dengan menggunakan aturan cosinus.

Besar sudut POQ = 180^o – (75^o+45^o) = 60^o.
PQ² = OQ² + OP² – 2.OQ.OP cos ∠POQ
PQ² = 3² + 5² – 2.3.5 cos 60^o c
PQ² = 9 + 25 – 30. 0,5
PQ² = 9 + 25 -15
PQ² = 19
PQ = √19 = 4,36

3.  Berapa nilai sin 120^o?

Jawaban:
120 = 90 + 30, jadi sin 120^o dapat dihitung dengan
Sin 120^o = Sin (90^o + 30^o) = Cos 30^o (nilainya positif karena soalnya adalah sin 120^o, di kuadran 2, maka hasilnya positif)
Cos 30^o = ½ √3

Atau dengan cara lain:

Sama seperti 180^o-80^o.
Sin 120^o = Sin (180^o – 60^o) = sin 60^o = ½ √3

4. Tentukan nilai dari: 2 cos 75° cos 15°

Jawaban:

2 cos 75° cos 15° = cos (75 +15)° + cos (75 – 15)°
= cos 90° + cos 60°
= 0 + ½
= ½

5. Buktikan bahwa sin⁴ α – sin² α = cos⁴ α – cos² α

Jawaban:

sin⁴ α – sin² α = (sin² α)² – sin² α
= (1 cos² α) ² – (1 cos² α)
= 1 – 2 cos² α + cos⁴ α – 1 + cos² α
= cos⁴ α – cos² α

6. Diketahui p dan q adalah sudut lancip dan p – q = 30°. Jika cos p sin q = 1/6 , maka nilai

Jawaban:

p – q = 30°
sin (p – q)= sin 30°
sin p cos q – cos p sin q = ½
sin p cos q – 1/6 = ½
sin p cos q = ½ + 1/6 = 4/6
jadi nilai sin p cos q = 4/6

7. Pada segitiga ABC lancip, diketahui cos A = 4/5 dan sin B =12/ 13 , maka sin C =

Jawaban:

Karena segitiga ABC lancip , maka sudut A,B dan C juga lancip, sehingga :

cos A = 4/5, maka sin A = 3/5,  (ingat cosami, sindemi dan tandesa)
sin B = 12/13, maka cos  B = 5/13
A + B + C = 180°,  (jml sudut -sudut dalam satu segitiga = 180)
A + B = 180 – C
sin (A + B) = sin (180 – C)
sin A . cos B + cos A.sin B = sin C, (ingat sudut yang saling berelasi : sin(180-x) = sin x)
sin C = sin A.cos B + cos A.sin B
sin C = 3/5.5/13 + 4/5.12/13
sin C = 15/65 + 48/65 = 63/65

8. A dan B titik ujung sebuah terowongan yang dilihat dari C dengan sudut lihat ACB=45˚ ,Jika garis CB =p dan CA=2p√2 , maka panjang terowongan itu adalah…

Jawaban:

Aturan Cosinus

AB²=CB²+CA²-2CA.CB cos C
AB²=p²+(2p√2)²-2(p.2p√2) cos 45˚
AB²=p²+8p²-2(2p²√2)√2/2
AB²=9p²-√2(2p²√2)
AB²=9p²-4p²
AB²=5p²
AB=√5p²
AB=p√5

9. Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi AB=6 cm , besar sudut A=30˚ dan sudut C=120˚,Luas segitiga ABC adalah…

Jawaban:

Panjang CB
a/sinA = c/sinC
a/sin30˚=6/sin120˚
a/sin30˚=6/sin60˚
a/1/2=6/√3/2
a√3/2=3
a=2√3/3 x 3
a=2√3
Luas Segitiga
L=1/2 a x c sin30˚
L=1/2 x 2√3 x 6 x 1/2
L=1/4 x 12√3
L=3√3 cm²

10. Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi AB=6 cm, BC=8 cm AC=7 cm. Nilai cos A adalah…

Jawaban:

Cos A=(AB²+AC²-BC²)/2(AB . AC)
Cos A=6²+7²-8²/2(6 . 7)
Cos A = 36+49-64/2(42)
Cos A=21/84

11. Nilai dari cos 1200˚ adalah…

Jawaban:

cos 1200˚
= cos( 120˚+3.360˚)

=cos 120˚

= – cos60˚

= -1/2

12. Pada ∆ ABC diketahui a+b=10 , sudut A=30˚ dan sudut 45˚ , maka panjang sisi b adalah…

Jawaban:

a+b=10
a=10-b
Aturan Sinus
a/sin A = b/sin B
10-b/ sin 30 = b/sin 45
10-b/1/2= b/√2/2
√2/2(10-b)=b/2
(10√2-b√2)/2=b/2
5√2-b√2/2=b/2
5√2=b√2/2 + b/2
5√2=(b√2+b)/2
5√2=b(√2+1)/2
b=5√2 x 2/(√2+1)
b=10√2/(√2+1) x (√2-1)/(√2-1)
b=20-10√2
b=10(2-√2)

13.Tentukan penyelesaian persamaan trigonometri berikut ini: sin x⁰ = sin 25⁰

sin x⁰ = sin 25⁰, maka diperoleh:

Jawaban:

x = 25⁰ + k.360⁰     atau     x   = (180⁰  ?  25⁰) + k.360⁰
= 155⁰ + k.360⁰
Jadi, x = 25⁰ + k.360⁰ atau 1550 + k.360⁰

14. Tentukan penyelesaian persamaan trigonometri berikut ini: sin x⁰ = sin 50⁰

Jawaban:

sin x⁰ = sin50⁰, maka diperoleh:

x = 50⁰ + k.360⁰     atau     x   = (180⁰  ?  50⁰) + k.360⁰
= 130⁰ + k.360⁰
Jadi, x = 50⁰ + k.360⁰ atau 130⁰ + k.360⁰

15. Tentukan nilai dari sin 105° + sin 15°

jawab:

sin 105° + sin 15° = 2 sin ½ (105+15)°cos ½ (105-15)°
= 2 sin ½ (102)° cos ½ (90)°
= sin 60° cos 45°

16. Tentukan nilai dari: 2 cos 75° cos 15°

Jawab:

2 cos 75° cos 15° = cos (75 +15)° + cos (75 – 15)°
= cos 90° + cos 60°
= 0 + ½
= ½

17. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri berikut ini: sin 2x⁰ = sin 40⁰, jika x dalam interval 0 ? x ? 360⁰

Jawaban:

sin 2x⁰ = sin 40⁰, maka diperoleh:

2x = 40⁰ + k.360⁰     atau     2x = (180⁰  ?  40⁰) + k.360⁰
» x = 20⁰ + k.360⁰                »   2x   = 140⁰ + k.360⁰
»   x     = 70⁰ + k.360⁰
untuk   k = 0 ? x = 20⁰     atau untuk    k = 0 ? x = 70⁰
k = 1 ? x = 200⁰                        k = 1 ? x = 250⁰
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah HP = {20⁰, 70⁰, 200⁰, 250⁰}

18. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri berikut ini: sin 3x⁰ = sin 45⁰, jika x dalam interval 0 ? x ? 360⁰

Jawaban:

sin 3x⁰ = sin 45⁰, maka diperoleh:

3x = 45⁰ + k.360⁰     atau     3x = (180⁰  ?  450⁰) + k.360⁰
» x = 15⁰ + k.360⁰    atau     »   3x   = 135⁰ + k.360⁰
»   x     = 45⁰ + k.120⁰
untuk   k = 0 ? x = 15⁰     atau untuk    k = 0 ? x = 45⁰
k = 1 ? x = 135⁰                        k = 1 ? x = 165⁰
k = 2 ? x = 255⁰                        k = 2 ? x = 285⁰
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah: HP = {15⁰, 45⁰, 135⁰, 165⁰, 255⁰, 285⁰}

19. Buktikan bahwa sin⁴ α – sin² α = cos⁴ α – cos² α

Jawaban:

sin⁴ α – sin² α = (sin² α)² – sin² α
= (1 cos² α) ² – (1 cos² α)
= 1 – 2 cos² α + cos⁴ α – 1 + cos² α
= cos⁴ α – cos² α

20.  Jika f(x) = sinx+cosxsinx,  sin x ≠ 0 dan f’ adalah turunan f, maka f'(π2) = …

A. -2

B. -1

C. 0

D. 1

E. 2

Pembahasan:

f(x) = sinx+cosxsinx
Misalkan:
* u(x) = sin x + cos x , maka:
u'(x) = cos x – sin x
* v(x) = sin x, maka v'(x) = cos x
f(x) = u(x)v(x)
f'(x) = u′(x).v(x)−u(x).v′(x)[v(x)]2
= (cosx−sinx).(sinx)−(sinx+cosx).(cosx)[sinx]2
f'(π2) = (cosπ2−sinπ2).(sinπ2)−(sinπ2+cosπ2).(cosπ2)[sinπ2]2
f'(π2) = (0−1).(1)−(1+0).(0)(1)2
f'(π2) = −1−01
f'(π2) = -1